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霍奇理论

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作者:学科百科来源:科普中国

数学上,霍奇理论是光滑流形M的代数拓扑的研究的一个方面。


简介

数学上,霍奇理论是光滑流形M的代数拓扑的研究的一个方面。更精确的讲,它寻找M的实系数上同调群在和M上的黎曼度量相关的一般化的拉普拉斯算子的偏微分方程理论中的应用。它由霍奇于1930年代作为德拉姆上同调的扩展而发展出来。


应用

在三个层次上有重要应用:


黎曼流形:黎曼流形(Riemannian manifold)是一个微分流形,其中每点p的切空间都定义了点积,而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度及向量域的散度。


凯勒流形:在数学中,一个凯勒流形(Kähler manifold)是具有满足一个可积性条件的酉结构(一个U(n)-结构)的流形。特别地,它是一个黎曼流形、复流形以及辛流形,这三个结构两两相容。


复射影簇的代数几何


最初的发展过程中,M取作紧致并且无边界流形。在所有三个层次上,该理论的后续工作很有影响,作出贡献的有小平邦彦(可能部分受到在普林斯顿的赫尔曼·外尔的影响)和后来的很多人。


霍奇猜想

霍奇猜想(英语:Hodge conjecture)是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇著述的一个结果中出现,他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述,这种结构出现于代数簇的情况(但不仅限于这种情况)。


文章分类: 数学视野